Как разрезать пиццу и построения без циркуля. ("-1"-е заседание кружка)
Математика Оставить комментарий15.01 на "-1"-ом заседании математического кружка присутствовали larkyphoto, kean, superchips и _zif.
Задача, с которой все началось была следующей (автор задачи - yashunsky):
Пусть есть "пицца" (окружность):
Требуется с помощью ножа и линейки найти её центр. Т.е. требуется найти центр заданной окружности путем проведения прямых линий и измерения расстояний, без проведения дуг (в изначальной формулировке предполагалось, что линейка позволяет отмерять любые расстояния).
Первое решение предложила superchips:
Проведем из какой-то точки окружности две секущие и отложим на них по паре равных отрезков. Если через полученные точки провести прямые, то по теореме Фалеса они будут параллельны. Следовательно, отрезки прямых, лежащие внутри окружности, являются основаниями трапеции, вписанной в эту окружность. Такая трапеция обязательно равнобочная и, вообще, очень симметричная :). С помощью линейки поделим ее основания пополам и проведем через середины оснований прямую. Она будет диаметром. Разделив его пополам, получим центр окружности.
Пришедший немного позже других larkyphoto, решая эту задачу заново, предложил способ, который не требует измерения отрезков и построения отрезков произвольной длины. Требуется только возможность строить какой-то отрезок фиксированной (например, единичной) длины.
Для построения диаметра используется та же самая вписанная трапеция, но вместо того, чтобы измерять её основания, мы продолжаем боковые стороны до пересечения и строим диагонали трапеции. Через две получившиеся таким образом точки пересечения проведем прямую - она и будет диаметром. Повторив всё построение ещё раз в каком-то другом месте на окружности, получим ещё один диаметр. Точка пересечения диаметров и будет центром.
После краткой, но бурной дискуссии (содержавшей реплику: "Отмеряй мне ПИ!") было принято решение отказаться в дальнейших построениях от линейки, которая меряет всё, и считать, что у нас есть линейка, на которой отмечен единичный отрезок (и только он). Таким образом, в дальнейших построениях мы можем проводить прямые (через любые две точки) и отмерять единичные отрезки (на прямых).
Результатом предыдущих построений стал вопрос:
А что ещё можно построить линейкой без циркуля?
В качестве основной следующей задачи было выбрано построение прямой, перпендикулярной заданной.
Решение осуществлялось "поиском в ширину". Т.е. строили то, что строилось. superchips Построила сначала прямую, параллельную данной, а потом и прямой угол. Правда, пока угол был отдельно, а заданная прямая - отдельно.
В качестве инструмента выступила всё та же теорема Фалеса. Проведем прямую, пересекающуюся с данной и на сторонах полученного угла отмеряем по два единичных отрезка. Прямые, проходящие через их концы параллельны и пересекают исходную прямую. Теперь на этих прямых от точек пересечения с заданной прямой отмеряем по единичному отрезку и проведем через концы этих отрезков прямую. Она будет параллельна исходной.
Более того, эти две прямые (а также две параллельные прямые, пересекающие исходную) будут сторонами ... ромба (со стороной 1). А кстати, диагонали ромба перпендикулярны. Повторяя построение ромба "рядом", получим прямой угол с вершиной на заданной прямой.
А это уже что-то! И вот почему: larkyphoto вспомнил, как писал в тетрадках в клеточку и доказал, что начиная с прямого угла, с помощью линейки можно построить целую решетку (т.е. нарисовать "клеточки" на плоскости):
Достаточно отложить на сторонах угла отрезки 1 и 2, после чего четвертая вершина единичного квадрата получается совсем просто. Ну, а дальше можно повторять эту операцию, рисуя всё новые и новые "клеточки".
Таким образом, исходная задача построения прямой, перпендикулярной данной, получила дополнение: можно считать, что прямая нарисована на клечатом листе бумаги и использовать клеточки в построении:
Прямая проходит через одну из вершин "клеточек", но в остальном её положение произвольно. После некоторого количества попыток решения задачи в такой формулировке пришлось остановиться, ибо все уже подустали. Задачу оставили в домашнее задание.
Кстати, я нашёл для неё замечательное решение, но, к сожалению, эта запись в журнале слишком мала, чтобы его вместить ;)))).
А не стоит также написать о самой первой задаче, решение которой описал ?
Вообще, надо бы. Но получилось, что "он знал, он знал". Могу дать ссылку:
http://en.wikipedia.org/wiki/Curve_of_constant_width
Видимо, задача была недостаточно зрелая. 😉 Может быть мы к ней ещё вернёмся.
Чорт. я задавался такой проблемой (про пиццу).
ТОлько метод был численный :)))
крепим нуль на окружности. вокруг нуля вращаем линейку. где достигается максимум - делим попалам. Да, я знаю что я -- лаймер :)))
Зато теперь понятно, что задачи разрезания пиццы волнуют буквально ВСЕХ 🙂
не поверишь, проблемы нахождения центра круга, никак не связанного с пиццей :)) Шлифовального :))
Ааа, вот в чём дело то :))
Эх, и чего я не
малярматематик.Если интересно - можешь попробовать. Для этого не обязательно быть математиком 😉
Ура, я сделал ДЗ! 🙂
Я тоже 🙂
Про паралелльную прямую: доступен карандаш и линейка с отрезком единичной длины.
на прямой А берем произвольную точку х и проводим линию Б пересекающую А в точке х.
На Б откладываем два раза единичный отрезок - получаем две точки б1 и б2(дальняя от х).
откладываем от х произвольный отрезок (единичный например) по прямой А в сторону - получаем точку х'. Проводим через прямую В через x' и б1. Откладываем расстояние х'б1 от точки б1 - получаем точку б3. Проводим искомую прямую А1 через б2 и б3.
На самом деле, хорошо бы иметь решение подобных задач в примитивах. "Найти середину данного отрезка", "Построить прямую параллельную данной проходящую через данную точку". "Построить перпендикуляр к данной прямой проходящей через данную точку" и т.д.
Середина отрезка
Не додумался до тривиального решения. Сложное. Через точку А отрезка АБ проводим прямую В не проходящую через Б и не под прямым углом к АБ (т.е. любую произвольную.). На прямоу АВ от точки А откладываем три единичных отрезка - получаем точки в1,в2,в3 (в3 дальше всех от А). Проводим через точки в3 и Б прямую. Откладываем точку б1 на расстоянии в3Б от в3. Имеем треугольник АБб1, причем Ав3 - медиана стороны б1Б. Значит медиана к АБ проходит через в2. Строим прямую Г(медиана в треугольнике АБб1 к стороне АБ) через точки б1в2. Ее пересечение с АБ и есть искомая точка.
Паралелль через данную точку.
Теперь стало проще получить параллель к прямой А через данную точку б1. Возьмем произвольную точку а1 на прямой А. Построим прямую Б через точки а1б1. Поделим отрезок пополам - новая точка б2. Возьмем точку а2 на А, а1!=а2. Проведем прямую В через а2б2. Отложим расстояние а2б2 от б2 в сторону от б2 - новая точка в1. Следовательно, прямая в1б1 и есть искомая паралелль.
А как можно отложить расстояние x'б1 если мы умеем откладывать только единичный отрезок? (Я дальше пока не читал, но, кажется в следующих комментариях также встречается операция откладывания отрезка заданной длины - не понятно, как её выполнять).
Кстати, построение прямой, параллельной данной, есть в тексте - оно чем-то не подошло?
Пока я думаю над удвоением отрезка (вчера, помнится, я все-таки это доказал, но сегодня уже забыл), отвечу про прямую паралелльную. Указанное доказательство я не смог расширить на задачу "Паралелль через заданную точку".
Надо бы всё-таки написать построение прямой, перпендикулярной заданной, в заданной точке. Из такого построения следует, что мы можем любую прямую "превратить" в линию квадратной "сетки", а провести через точку прямую, параллельную линиям сетки довольно просто. 🙂
Если интересно - могу написать. Единственный недостаток (или достоинство) такого решения в том, что оно "не элементарно" - ссылается на много других доказанных ранее фактов.
Гм - возможно, я поторопился насчёт того, что проводить параллельно линиям сетки проще :-/
Вот Володя доказал, что с сеткой удвоить отрезок можно. Если его (или меня) пнуть, то я это доказательство могу куда-нибудь написать.
Здесь подробно расписывается что можно и нельзя построить линейкой и циркулем.