Ко второму заседанию математического кружка

Математика Оставить комментарий

Из-за того, что я был занят, задачи, рассмотренные на втором заседании выкладываю только сегодня. Собственно, задачУ, которой было уделено основное внимание, принесла naddy_wolf, которая, к сожалению, не осталась с нами до конца вечера, но обещала как-нибудь ещё зайти.
Задача была позаимствована из математической олимпиады, формулировалась она так:

"Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом. После того, как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на неё отрезки так, чтобы проекции всех трёх были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?"

Задачу мы, в итоге, решили. Но как справедливо заметила rohrfloete, средства, применённые для решения были явно чересчур сильные. Приведённые ниже решения в основном опираются на идеи, озвученные во вторник, но не следуют им в точности. Итак,

Перед тем, как, собственно, формулировать решение, следует отметить, что проекции отрезков не меняются при перемещении их в пространстве, поэтому можно считать, что все отрезки начинаются в одной и той же точке.

С учетом сделанного замечания, решение пункта а) на самом деле совсем простое (даже проще, чем было придумано во вторник):

3equal

Достаточно провести плоскость через концы отрезков. Это всегда возможно сделать (возможно, не единственным образом). По теореме Пифагора проекции всех трех отрезков будут равны.

В случае, когда один из отрезков не равен двум другим, аналитическая геометрия спасает всех.
Поскольку проекции не меняются при перемещении отрезков в пространстве, будем рассматривать только плоскости, проходящие через общую точку отрезков.

Сначала докажем, что плоскость, в которой проекции двух равных отрезков равны проходит либо через биссектрису угла, образованного отрезками, либо через прямую, перпендикулярную ей.
2equal

Пусть два равных по длине отрезка заканчиваются в точках (p,q) и (p,-q) (систему координат мы вольны выбирать как угодно). Можно считать, что p и q отличны от нуля. Пусть плоскость, в которую они проецируются, ортогональна вектору (a,b,c), т.ч. a2+b2+c2=1. Длины проекций рассматриваемых отрезков на этот вектор равны, соответственно |ap+bq| и |ap-bq|. По теореме Пифагора, квадраты длин проекций отрезков на ортогональную плоскость равны, соответственно:


p2+q2-(ap+bq)2 и
p2+q2-(ap-bq)2.

Из их равенства вытекает, что

4pqab=0

откуда либо a=0, либо b=0. Т.е. плоскость содержит либо ось Ox целиком, либо ось Oy целиком.
Рассмотрим теперь вектор с координатами (x,x,x) и его проекцию на какую-то плоскость, содержащую одну из координатных осей, например ax+by=0, причем a2+b2=1
Длина этой проекции равна:

formula

Выбирая должным образом значение x, можно сделать эту проекцию заведомо больше длины любого из первых двух отрезков, и, как следствие, больше длины проекции.

Таким образом, в пункте б) ответ - нет, подобрать плоскость удастся не всегда.

В качестве домашнего задания к следующему заседанию было предложено подумать о некруглых колёсах и их качении по нелинейным кривым.

Один комментарий к “Ко второму заседанию математического кружка”

  • а где же наше доказательства пункта б) "на пальцах"? 🙂 "Из соображений симметрии ... ... Поэтому если отрезок слишком длинный и повернут некоторым образом, то... ... ..." 🙂

    По случаю мне подвернулось под руку "официальное" решение этой задачи (которое предлагается составителями олимпиады).

    п. а) Ответ да. Решение (такое же, как здесь). Считаем, что все отрезки отложены от одной точки, и проводим плоскость через другие концы.

    п. б) Ответ нет, не всегда. Пример. Пусть два неравных отрезка параллельны, а третий (равный по длине одному из них) им не параллелен. При проектировании параллельных отрезков сохраняется отношение длин. Следовательно, проекции двух неравных отрезков всегда имеют разную длину кроме случая, когда они оба проецируются в точку. Но в этом случае третий непараллельный им отрезок проецируется не в точку, значит проекция будет иметь длину, неравную нулю.

Оставить комментарий

Тема WordPress и иконки разработаны N.Design Studio
© 2022 Страница Алексея Яшунского RSS записей RSS комментариев Войти