Страница Алексея Яшунского

На этот раз заседание проходило не в Шоколаднице, а в Прайме на Маросейке. Возможно, что Шоколадница в силу своей политики ещё не скоро нас увидит. Разбирались две задачи:

1. (источник):
Пусть E - эллипс, не являющийся кругом. Показать, что среди всех вписанных прямоугольников
(a) только один является квадратом
(b) по крайней мере один имеет площадь, бóльшую, чем у квадрата.

Для начала мы предположили, что все вписанные в эллипс прямоугольники имеют стороны, параллельные осям эллипса.

При таком предположении легко показывается первый пункт. Во втором же достаточно выразить площадь как функцию от стороны прямоугольника (например, горизонтальной) и удостовериться, что она имеет максимум в точке a\sqrt{2}, причём другая сторона прямоугольника равна b\sqrt{2} и, следовательно, это не квадрат.

Остаётся доказать, что все прямоугольники, вписанные в эллипс, имеют стороны, параллельные осям эллипса. Изящное рассуждение предложил kean: предположим, что мы вписали некоторый прямоугольник в эллипс; сожмём эллипс в a/b раз вдоль оси x - тогда эллипс перейдёт в окружность, а прямоугольник - в параллелограмм. При этом он останется вписанным в окружность. Но единственный параллелограмм, который можно вписать в окружность - прямоугольник.

Рассмотрим теперь, во что перейдёт прямоугольник, если окружность растянуть вдоль оси x в a/b раз. Покажем, что растяжение вдоль оси сохраняет прямые углы только в "редких случаях". Пусть вектора с координатами (x₁,y₁) и (x₂,y₂) ортогональны. Тогда x₁x₂ + y₁y₂ = 0. При растяжении в c раз вдоль оси x, эти вектора перейдут в (cx₁,y₁) и (cx₂,y₂). Их скалярное произведение будет равно:

cx₁ cx₂ + y₁y₂ = c²x₁x₂ + y₁y₂ = (c²-1)x₁x₂ + x₁x₂+y₁y₂ = (c²-1)x₁x₂

Эта величина равняется нулю если c равно +1 или -1 или же если одна из координат - x₁ или x₂ - равнялась нулю. В нашем случае c=a/b и по условию отлично от 1. Следовательно, прямой угол после растяжения может сохраниться только если один из векторов был параллелен оси y, что и требовалось доказать.

2. Пусть имеется n бесконечно малых (точечных) односторонних зеркал и лазерная указка, свет которой отражается от зеркал по обычным правилам - угол падения равен углу отражения. Сколько звеньев может быть в траектории светового луча?

Понятно, что просто подставляя зеркала под луч света легко получить (n+1) звено. Однако гораздо интереснее зеркала использовать повторно. Например, используя три зеркала, можно получить 5 звеньев, направив луч последним зеркалом в первое.

Максимальное число звеньев, которое при этом получится, можно оценить - оно никак не больше, чем число разных линий, которое можно провести между n точками (+2 звена: одно - луч до первого зеркала, второе - луч после последнего). Таким образом, количество звеньев не более, чем n(n-1)/2 + 2. Оказалось, для пятиугольника эту оценку можно практически достичь: из 12 звеньев можно получить 11.

На самом деле, я умею получать n(n-1)/2 + 1 для очень многих n (догадайтесь, для каких 😉 ). Вообще, решение это задачи, в том или ином виде, - ДЗ. А ещё её можно рассматривать в пространстве... 😉