Страница Алексея Яшунского

Концепция сферического коня в вакууме является исключительно продуктивной для современной математики, а также других отраслей науки. Один из замечательных примеров можно найти здесь.

На пятом же заседании рассматривалось движение сферических коней в вакууме на прямоугольном участке плоскости с точками поглощения и отражения. То есть, говоря по-русски, рассматривалась игра в бильярд.

Сферичность коней (шаров) предполагала отсутствие трение, и абсолютную упругость как для столкновения шаров, так и для отражения шара от стенки. Для стенок в этом случае действует правило "угол падения равен углу отражения", а столкновение подвижного шара с неподвижным выглядит следующим образом:

Решался вопрос о забивании двух шаров "с одного кия".

Прежде всего, стоит уточнить модель стола. Шары будем рассматривать с ненулевым радиусом, поэтому центры шаров не могут располагаться к борту ближе, чем на расстоянии этого самого радиуса. Таким образом, очерчен прямоугольник, внутри которого двигаются центры шаров.



На сторонах этого прямоугольника (за счёт луз) появляются некоторые отрезки, при попадании в которые центра шара сам шар попадает в лузу. Это и буду лузы в нашей модели.

Имеется два шара на столе. Требуется ударом по одному забить в лузы сразу оба.

Сначала рассмотрим забивание двух шаров с одного удара без использования отражения от стенок.

Из выбранной модели столкновения следует, что после столкновения шары будут двигаться по перпендикулярным прямым, причём эти прямые зависят только от положения шаров в момент касания, и не зависят от направления скорости движущегося шара (за исключением случая, когда шар двигался вдоль прямой, соединяющей центры шаров).

Прямые, на которых лежат траектории шаров будут образовывать прямой угол с вершиной в центре движущегося шара в момент удара. Таким образом, шары разлетятся по лузам только в том случае, если в момент касания центр движущегося шара являлся вершиной некоторого прямоугольного треугольника, катеты которого заканчиваются в лузах.

Все точки, являющиеся вершинами прямых углов с таким свойством лежат между двумя полуокружностями, диаметрами которых являются отрезки, соединяющие концы луз.

В момент касания центр движущегося шара находится на расстоянии, равном диаметру, от центра неподвижного шара (пунктирная окружность). Следовательно, существуют такие положения центра второго шара, при которых шары заведомо не могут разлететься по лузам ("розовое" множество на рисунке).

Такие же окружности можно построить для любой пары луз. После того, как окружности построены для всех пар луз, точки, лежащие дальше чем на радиуса шара от построенных фигур, образуют "запретное множество". Если поставить в него центр неподвижного шара, то шары точно не разлетятся по лузам.

Необходимое условие забивание двух шаров с одного кия без использования бортов выглядит примерно так:

До удара оба шара должны находится вне розовых областей.

(Если они оба находятся внутри розовой области, то по какому бы мы не ударили, после столкновения шары не смогут разлететься по лузам)

На самом деле движущийся шар может подкатиться к неподвижному далеко не с любой стороны. Множество точек на пунктирной окружности легко строится - оно показывает в какие точки может попасть центр правого (движущегося) шара при касании с левым (неподвижным).

(Красные пунктиры - общие касательные к двум шарам, синие линии - траектории центра шара в крайних положениях).

Необходимое условие закатывания обоих шаров в лузы получается вот из каких соображений.
Неподвижный шар начинает двигаться вдоль прямой, соединяющей центры шаров в момент столкновения. А подвижный шар меняет направление своего движения и начинает двигаться вдоль перпендикулярной ей прямой - это касательная к пунктирной окружности, изображающей возможные положения центра движущегося шара.

Итак, для неподвижного шара и пары луз имеем:

Соединяем концы одной лузы с центром неподвижного шара. Эти отрезки высекают на пунктирной окружности некоторую дугу (голубую). Проводим из концов другой лузы касательные к пунктирной окружности. Между концами касательных заключена другая дуга (зеленая). Их пересечение даёт некоторую третью дугу (красную), при попадании в которую центра движущегося шара, шары разлетятся в лузы.

Таким образом, алгоритм решения задачи такой. На "пунктирной окружности" строим три множества:
1. Дуга, в которую может попасть центр движущегося шара в момент столкновения.
2. Для каждой из луз: дуга, которая обеспечивает попадание неподвижного шара в лузу.
3. Для каждой из луз: дуга, которая обеспечивает попадание подвижного шара в лузу.

Если все три множества имеют непустое пересечение, то шары забиваются с одного удара и можно указать этот удар.

Рассмотрение траекторий с отражением от стенок вносит один нюанс, учитывать который не так просто. А именно, в зависимости от величины скорости движущегося шара, возможно возникновение повторных столкновений шаров.

В частности, вот такая конфигурация в момент удара приведёт (в силу отсутствия трения) к появлению двух бесконечно "осцилирующих" между стенками шаров. Причём их скорости будут зависеть от скорости движущегося шара в момент касания и их можно сделать такими, что шары столкнуться повторно.

Однако, если игнорировать возможность повторного столкновения, то алгоритм можно применять и для нахождения траекторий с любым числом отражений. Для этого достаточно отразить бильярдный стол относительно его сторон (столько раз, сколько предполагается отражений). Если число отражений не ограничивать, то придётся замостить копиями бильярдных столов всю плоскость.

На рисунке показано, как получить траектории попадания в лузы с одним отражением от "нижнего борта".

Копии бильярдных столов создадут новые лузы, к которым можно также применять алгоритм, что расширит множества 2 и 3. Кроме того появятся новые "виртуальные" начальные положения первого шара, которые позволят расширить множество 1. В результате, скорее всего, почти всегда пересечение множеств 1, 2 и 3 будет непустым. Было бы здорово это доказать.

И ещё - сделать шаг индукции для n шаров... 😉