Рельсы, рельсы (к седьмому заседанию математического кружка)

Математика Оставить комментарий

Формулировка рассматриваемой задачи была такая: пусть есть неограниченный набор рельсов трёх типов: прямые, поворачивающие направо, поворачивающие налево (на самом деле, поворачивающие направо и налево - это одни и те же рельсы, как заметил kean). Прямые имеют длину 1, кривые являются дугами окружности радиуса R и длины R\alpha.



Требуется построить рельсовый путь из точки А в точку Б (допускаются мосты и тоннели, но не допускаются стрелки), а точнее, указать, когда это возможно.

Точного решения не получилось, но кое-что всё-таки есть

Собственно помимо большого количества частных построений и экспериментов, было придумано одно достаточно специфическое и приближенное решение задачи для произвольного отрезка АБ. Оно работает для случая, когда \alpha — не \pi-рационально, т.е. когда \alpha/\pi — иррациональное число.

В этом случае последовательное соединение поворачивающих, например, налево рельсов никогда не даст окружность.




На самом деле, набирая много оборотов (т.е. строя спиральную железную дорогу) можно на спирали с оборотом 2k\pi получить между началом и концом рельсов сколь угодно малый зазор (вообще-то, хорошо бы и это доказать явно).

Начиная от конца первой спирали новую спираль в другую сторону этот зазор можно удвоить. Таким образом можно приближенно построить любой отрезок.

С точным построением, а также со случаем \pi-рационального \alpha ничего не понятно. Есть конфигурации, когда множество точек Б описывается явно и устроено достаточно просто (R=1, \alpha=\pi/2), но такие вещи скорее исключение, чем правило.

PS: Уже после подумалось, что задача может быть сформулирована как возможность получения точки с координатами (b,0,z) где z — произвольное из точек прямой (0,0,z) с помощью преобразований:
 (x,y,\gamma) \to (x+\cos\gamma, y+\sin\gamma, \gamma);
 (x,y,\gamma) \to (x+d\cos(\gamma+\beta), y+d\sin(\gamma+\beta), \gamma+\beta);
 (x,y,\gamma) \to (x+d\cos(\gamma-\beta), y+d\sin(\gamma-\beta), \gamma-\beta).

Оставить комментарий

Тема WordPress и иконки разработаны N.Design Studio
© 2019 Страница Алексея Яшунского RSS записей RSS комментариев Войти