Да будет свет (к восьмому заседанию мат. кружка)

Математика Оставить комментарий

Восьмое заседание проходило в весьма узком кругу: присутствовал _zif, yashunsky и вот этот вот товарищ:




Его я выбрал в меню, но съесть не смог - он так мило улыбался! Теперь он живёт у меня на столе.

Обсуждались вопросы освещённости прямоугольных параллелепипедов изнутри. Пусть есть "склад", представляющий из себя прямоугольный параллелепипед (ящик). В нём требуется разместить лампы таким образом, чтобы в каждой точке пола гарантировать заданную освещенность L. Требуется добиться этого минимальным, по возможности, количеством ламп.

Считается, что освещённость создаваемая лампой в точке выражается функцией l(r), где r - расстояние до лампы, и в каждой точки освещённости от разных ламп складываются.

В качестве l(r) была выбрана (заодно задача стала похожей на гравитационную). Оказалось, что при такой l(r) для освещения пола наиболее эффективным является размещение ламп прямо на полу: легко показать, что поднятие любой лампы вверх не увеличивает освещённость ни одной из точек пола.

Если размещать лампы на полу и использовать указанную l(r), то получится, что в точках размещения ламп освещенность бесконечная - не очень хорошая модель. В качестве функции освещенности можно выбрать (это также можно рассматривать как предыдущую l(r) с ограничением, заключающемся в том, что все лампы должны висеть под потолком на высоте 1).

Грубую оценку достаточного числа лампочек N для прямоугольника D можно получить, например, так:




где L(x) - самая плохая функция освещённости (легко показать, что она будет у лампы, размещенной в углу). Однако, для заданных L(x) и D этот интеграл не очень-то хочет браться 🙁

Более продуктивной кажется идея "сотового" размещения ламп:




Для заданной функции l(r) и уровня освещенности L можно даже найти максимально допустимую длину стороны треугольника, а потом и посчитать сколько ламп потребуется в такой конфигурации, чтобы "замостить" прямоугольник. Однако, поскольку не очень понятно, как получить нижнюю оценку на число ламп, то и не ясно, насколько этот способ близок к оптимальному...

В общем, много вопросов. 🙂

7 комментариев к “Да будет свет (к восьмому заседанию мат. кружка)”

Оставить комментарий

Тема WordPress и иконки разработаны N.Design Studio
© 2019 Страница Алексея Яшунского RSS записей RSS комментариев Войти