На велотреке (к девятому заседанию мат. кружка)

Математика Оставить комментарий

Рассматривалась задача о Яше на велотреке в следующей формулировке. Идеальный Яша ездит кругами по велотреку, причем если его скорость меньше V, то он создает некоторое постоянное ускорение a, а по достижению скорости V перестает крутить педали (потому что бесполезно 😉 ). При этом на него действует сила тяжести g. Велотрек состоит из подъёмов и спусков произвольной формы, но устроен таким образом, что из любой его точки идеальный Яша способен стартовать с нулевой скоростью. Требуется определить форму трека, при которой средняя скорость будет наибольшей.

Как оказалось, в поставленных условиях, начиная с некоторого момента скорость идеального Яши (ИЯ) никогда не падает ниже V. Вот почему: пока скорость строго меньше V, ИЯ создает положительное ускорение и в какой-то момент достигает скорости V. Далее ускорение создается только силой тяжести. Предположим теперь, что мы рассмотрим НЕидеального Яшу, у которого скорость реакции равна T. В этом случае, если скорость упадёт ниже V, то он заметит это только через время T и начнет крутить педали. Спустя некоторое время он вернется к скорости V и перестанет крутить педали. Если он при этом едет в гору, то далее всё повторится снова. График скорости будет выглядеть так:




ИЯ получается из неидеального при T->0. Скорость ИЯ при движении в гору будет постоянной и равной V. При этом сам ИЯ будет находится в "квантовом состоянии": в каждый момент времени он будет одновременно и крутить, и не крутить педали. В общем, разумно рассматривать просто задачу о велосипедисте, имеющем скорость V в начальной точке велотрека и движущемся под действием силы тяжести по треку, который лежит не выше точки старта.

В такой формулировке требуется найти кривую, при движении вдоль которой средняя скорость максимальна. Хотя при обсуждении и была упомянута брахистохрона (перевернутая циклоида), а также цепная линия (гиперболический косинус), однако, по-видимому, из этих двух кривых ни одна необходимым свойством не обладает.

На самом деле, требуется найти кривую y(x), которая максимизирует функционал: , причем |y'|<C, где C определяется по a и g.

Оставить комментарий

Тема WordPress и иконки разработаны N.Design Studio
© 2018 Страница Алексея Яшунского RSS записей RSS комментариев Войти