Страница Алексея Яшунского

Задача заключается в выяснении, по какой поверхности угловатое (например, квадратное) колесо будет катиться без "подпрыгиваний", т.е. его центр будет двигаться по прямой. Решение задачи (к сожалению, так и не найденное во вторник) заключается в том, чтобы
а) Рассматривать отдельно отрезок, являющийся частью стороны многоугольника
б) В качестве основного уравнения рассматривать отсутствие проскальзывания (т.е. равенство длин части отрезка и части кривой)

Будем искать кривую в виде y=f(x), где f(x)<0: на картинке искомая кривая - красная. Часть отрезка, уже прокатившаяся по кривой является катетом прямоугольного треугольника с другим катетом 1 и гипотенузой 1+(-f)=1-f. Таким образом, отсутствие проскальзывания задаётся уравнением:

Его дифференцирование по x даёт:



Сделаем замену 1-f = u




Возводя в квадрат, приводя подобные члены и разделяя переменные приходим к:



Интеграл в левой части - табличный. Решением этого уравнения (с точностью до знака) является

u = ch(x+C)

Константа C=0 из условия f(0)=0. Поэтому

f(x) = 1-ch x

Такая кривая (точнее, перевёрнутая) называется цепной линией (потому что именно такую форму принимает цепь, подвешенная за два конца). В случае квадрата движение по этой кривой продолжается вплоть до точки, где f'(x)=-1, т.е. квадрат встаёт "на угол". Эта точка - ln(1+\sqrt{2}). Таким образом для квадратного колеса поверхность состоит из фрагментов цепной линии, лежащих от -ln(1+\sqrt{2}) до ln(1+\sqrt{2}), "растиражированных" по периодичности.



PS: Применение аналогичной техники для эллиптического колеса привело к интегралу, не берущемуся в квадратурах 🙁