Страница Алексея Яшунского

Концепция сферического коня в вакууме является исключительно продуктивной для современной математики, а также других отраслей науки. Один из замечательных примеров можно найти здесь.

На пятом же заседании рассматривалось движение сферических коней в вакууме на прямоугольном участке плоскости с точками поглощения и отражения. То есть, говоря по-русски, рассматривалась игра в бильярд.

Сферичность коней (шаров) предполагала отсутствие трение, и абсолютную упругость как для столкновения шаров, так и для отражения шара от стенки. Для стенок в этом случае действует правило "угол падения равен углу отражения", а столкновение подвижного шара с неподвижным выглядит следующим образом:

Решался вопрос о забивании двух шаров "с одного кия".
Что получилось

На этот раз заседание проходило не в Шоколаднице, а в Прайме на Маросейке. Возможно, что Шоколадница в силу своей политики ещё не скоро нас увидит. Разбирались две задачи:

1. (источник):
Пусть E - эллипс, не являющийся кругом. Показать, что среди всех вписанных прямоугольников
(a) только один является квадратом
(b) по крайней мере один имеет площадь, бóльшую, чем у квадрата.

Решение

Задача заключается в выяснении, по какой поверхности угловатое (например, квадратное) колесо будет катиться без "подпрыгиваний", т.е. его центр будет двигаться по прямой. Решение задачи (к сожалению, так и не найденное во вторник) заключается в том, чтобы
а) Рассматривать отдельно отрезок, являющийся частью стороны многоугольника
б) В качестве основного уравнения рассматривать отсутствие проскальзывания (т.е. равенство длин части отрезка и части кривой)
Решение

Из-за того, что я был занят, задачи, рассмотренные на втором заседании выкладываю только сегодня. Собственно, задачУ, которой было уделено основное внимание, принесла naddy_wolf, которая, к сожалению, не осталась с нами до конца вечера, но обещала как-нибудь ещё зайти.
Задача была позаимствована из математической олимпиады, формулировалась она так:

"Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом. После того, как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на неё отрезки так, чтобы проекции всех трёх были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?"

Задачу мы, в итоге, решили. Но как справедливо заметила rohrfloete, средства, применённые для решения были явно чересчур сильные. Приведённые ниже решения в основном опираются на идеи, озвученные во вторник, но не следуют им в точности. Итак,
Решение

Две недорешённые задачи отправляются в копилку:

1. На некоторой планете (которую можно считать отрезком, но на самом деле это не важно для решения задачи) каждый год что-то случается. С вероятностью p - это революция, после которой какое-то государство раскалывается на две части. С вероятностью q=1-p - война, которая заканчивается полным завоеванием одного государства другим. Правда, если на планете остается только одно государство, то воевать ему не с кем, и тогда с вероятностью q оно просто переживает этот год без перемен. Вопрос: какова вероятность того, что через n лет на планете будет ровно 1 государство?

2. 1984 г. На планете три сверхдержавы: Eurasia, Oceania, Eastasia. Каждая воюет с каждой.
У каждой державы есть незыблемая территория, которую никогда не захватывают другие сверхдержавы. И есть страны третьего мира, за которые идёт борьба.

Каждое из полей битвы поделено на 2N отрезков равной длины и каждый ход на каждом поле боя фронт сдвигается на один такой отрезок. С вероятностями p1, p2, p3 фронт двигается по часовой стрелке, а с вероятностями q1,q2,q3 - против часовой стрелки. Если фронт "упёрся" в незыблемую границу, то он либо двигается назад, либо стоит на месте. Пусть в начальном положении каждое из полей боя поделено пополам между сверхдержавами. С какой вероятностью на n-ом году какая-то из сверхдержав захватит полмира?